排中律という証明方法

 数学好きにはよく知られた方法ですが、排中律という証明方法があります。厳密にはこれは証明ではなく「『Aである』または『Aではない』は常に成り立つ」というある意味当たり前の原理なのですが、これをうまく使った証明のやり方があります。

高校までには習わない（というか大学でも習った記憶がない）のですが、考え方は高校数学レベルで十分理解できます。かなり使い道は限られるのですが、個人的にはこの排中律が一番「すげえ！」と思った証明方法です。

どうやって証明に使うの？

ざっくり説明すると、証明したい命題Aと、それとは別の命題Bについて

Bが真なら、Aは真である

Bが偽なら、（別の理由で）Aは真である

よって、 Aは常に真である

という論法です。Bが真でも偽でも、別の道でAを証明できるんですね。

例題

これだけだとよくわからないので例を見てみましょう。

「無理数の無理数乗で表せる有理数が存在する」という命題を証明してみます。これは排中律を使った証明で必ずといっていいくらい出てくるほど有名な例で、大学入試問題にも出たことがあります。なお、\(\sqrt{2}\)が無理数であることと、\((a^{b})^{c}=a^{b \times c}\)が成り立つことは前提とします。

証明

\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)という数値について考える。これは実数の実数乗なので、無理数か有理数（無理数でない）のどちらかである（←これが排中律！）。

\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)が無理数の場合、\(a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)、\(b=\sqrt{2}\)と置くと、\(a,b\)はいずれも無理数である。

\(a^{b}=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2\)

これは有理数なので、無理数の無理数乗が有理数となる例が見つかった。

一方、\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)が有理数の場合、\(\sqrt{2}\)は無理数なので、無理数の無理数乗が有理数となる例がここにも存在する。

よって、（\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)が無理数でも有理数でも）無理数の無理数乗で表せる有理数が存在する。

あとがき

どうですか？将棋の必至のように、どこに逃げても詰んでしまう大変興味深い証明方法ではないでしょうか。

ところで、かの有名な背理法も排中律に基づいた証明方法ですね。これも最初に知ったときはすげぇと思ったものです。